Question

8．已知不等式ax²+bx+c＞0的解是α＜x＜β，其中β＞α＞0，求不等式cx²+bx+a＜0的解．

Answer 1

分析 先利用不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解为α＜x＜β，其中β＞α＞0，求出系数a＜0，c＜0以及α+β=-$\frac{b}{a}$，αβ=$\frac{c}{a}$，再把cx²+bx+a=0的两根用α，β表示出来，再利用c＜0，即可求出不等式cx²+bx+a＜0的解．

解答 解：因为不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解为α＜x＜β，其中β＞α＞0，
所以有α+β=-$\frac{b}{a}$，α•β=$\frac{c}{a}$，且a＜0，c＜0．
即有b=-a（α+β），c=aαβ，
不等式cx²+bx+a＜0即为aαβx²-a（α+β）x+a＜0，
即为αβx²-（α+β）x+1＞0，
即有（αx-1）（βx-1）＞0，
由β＞α＞0，可得$\frac{1}{α}$＞$\frac{1}{β}$，
可得不等式cx²+bx+a＜0的解为x＞$\frac{1}{α}$或x＜$\frac{1}{β}$．

点评 本题主要考查一元二次不等式的解法及其应用..一元二次不等式的解集由对应函数的开口方向和对应方程的根共同决定．所以在解一元二次不等式时，一定要确定对应函数的开口方向．