Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，B=$\frac{π}{3}$．
（1）若a=3，b=$\sqrt{7}$，求c的值；
（2）若f（A）=sinA（$\sqrt{3}$cosA-sinA），a=$\sqrt{7}$，求f（A）的最大值及此时△ABC的外接圆半径．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理即可得解c的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，利用正弦函数的性质可求f（A）的最大值，利用正弦定理进而可求得此时△ABC的外接圆半径．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵b²=a²+c²-2accosB，a=3，b=$\sqrt{7}$，$B=\frac{π}{3}$，
∴7=9+c²-2×$3×c×\frac{1}{2}$，整理可得：c²-3c+2=0，
解得：c=1或2…4分
（2）由二倍角公式得f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A+$\frac{1}{2}$cos2A-$\frac{1}{2}$，
∴f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∴当A=$\frac{π}{6}$时，f（A）最大值为$\frac{1}{2}$，
此时△ABC为直角三角形，
此时△ABC的外接圆半径：$r=\frac{1}{2}×\frac{a}{sinA}=\frac{{\sqrt{7}}}{{2×\frac{1}{2}}}=\sqrt{7}$…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．