Question

设函数f（x）满足f（0）=1，且对任意x，y∈R，都有f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足：a_n+1=3f（a_n）-1（n∈N⁺），且a₁=1，求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）求证：

3

2

≤（1+

1

2f(n-1)

）^f（n-1）＜2，（n∈N⁺）

Answer 1

分析：（Ⅰ）运用赋值的方法，令x=y=0，求出f（1）=2，再令y=0可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）运用待定系数法，找出a_n+1+1与a_n+1的位数关系，结合等比数列的通项公式，求出数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）运用二项式定理，结合不等式的知识与放缩法，从而证出不等式恒成立．

解答：解：（Ⅰ）因f（0）=1．
若令x=y=0，得f（1）=f（0）f（0）-f（0）-0+2=2
再令y=0得f（1）=f（x）f（0）-f（0）-x+2，可得f（x）=x+1，x∈R
（Ⅱ）∵f（x）=x+1，∴a_n+1=3f（a_n）-1=3（a_n+1）-1=3a^_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），又a₁+1=2，∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴a_n+1=2•3^n-1，即a_n=2•3^n-1-1
（Ⅲ）∵f（x）=x+1，x∈R，∴T=[1+

1

2f(n-1)

]f(n-1)=(1+

1

2n

)n，n∈N^*
T=

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2n

)+

C

2 n

(

1

2n

)2+

C

3 n

(

1

2n

)3+…+

C

r n

(

1

2n

)r+≥1+n•

1

2n

=

3

2

另一方面：因为

C

r n

(

1

2n

)r=

m(n-1)(n-2)-(n-r+1)

nr•1•2•3…r

•(

1

2

)r≤(

1

2

)r，
所以T≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)r+…+(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n+1

1- 1 2

=2(1-

1

2n+1

)=2-

1

2n

＜2．
综上可得命题成立．

点评：数列与不等式相综合是考试的热点，也是难点．第一小问赋值的同进应该注意一个“巧”字，不要出现重复累赘，不得其法；第二小问除待定系数的方法外还可利用利用作差构造新数列的方法，同学们不妨作个尝试；第三小问证明不等式恒成立，在结合二项式定理的同时还要注意式子的适当放缩，从而达到证明的目的．