Question

在R上定义运算：x⊕y=

x

2-y

，若关于x的不等式x⊕（x+a-1）＞0的解集是集合{x|-2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是

[1，5]

．

Answer 1

分析：由新定义可化为关于x的一元二次不等式，对a分类讨论求出其解集，再利用已知条件即可求出．

解答：解：由关于x的不等式x⊕（x+a-1）＞0，即

x

2-(x+a-1)

＞0，可化为x[x-（3-a）]＜0．（*）
①当3-a＞0即a＜3时，不等式（*）的解集为{x|0＜x＜3-a}．∵不等式（*）的解集是集合{x|-2≤x≤2}的子集，∴3-a≤2，又a＜3，解得1≤a＜3；
②当3-a=0即a=3时，不等式（*）可化为x²＜0，其解集为∅是集合{x|-2≤x≤2}的子集，满足题意，因此a=3；
③当3-a＜0即a＞3时，不等式（*）的解集为{x|3-ax＜0}．∵不等式（*）的解集是集合{x|-2≤x≤2}的子集，∴3-a≥-2，又a＞3，解得3＜a≤5．
综上可知：实数a的取值范围是[1，5]．
故答案为[1，5]．

点评：正确理解新定义、熟练掌握分类讨论方法和解出一元二次不等式是解题的关键．