Question

已知m∈R，设P：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，不等式｜m²-5m-3｜≥｜x₁-x₂｜的任意实数a∈［-1，1］恒成立；Q：函数f（x）=x³+mx²+（m+）x+6在（-∞，+∞）上有极值；求使P正确且Q正确的m的取值范围。

Answer 1

解：（1）由题设是方程的两个实根，
得，
所以，，
当a∈［-1，1］时，的最大值为9，即；
由题意，不等式对任意实数a∈［-1，1］恒成立的m的解集
等于不等式的解集，
由此不等式得
不等式①的解为，不等式②的解为，
因此，当时，P是正确的；
（2）对函数求导，
令f′（x）=0，即，
此一元二次方程的判别式，
若△=0，则f′（x）=0有两个相等的实根x₀，且f′（x）的符号如下：

因此，f（x₀）不是函数f（x）的极值；
若△＞0，则f′（x）=0有两个不相等的实根的符号如下：

因此，函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值；
综上所述，当且仅当△＞0时，f（x）在（-∞，+∞）上有极值，
由得m＜-1或m＞4，
因此，当m＜-1或m＞4时，Q是正确的；
综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为。