精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设f(x)=x3-
x22
-2x+a,
(1)求函数f(x)的单调递增、递减区间;
(2)若函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值与最小值的和为5,求实数a的值.
分析:(1)求出函数的导函数,解出函数的零点,由导函数的零点对函数的定义域分段,判断导函数在各区间段内的符号,从而得出原函数的单调区间;
(2)由(1)求出的函数的单调区间,分析函数在区间[-1,2]上的单调性,从而求出函数在区间[-1,2]上的极值进而得到函数在区间[-1,2]上的最值,把求出的最值求和值为5,即可求得a的值.
解答:解:(1)f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)…(2分)
令f′(x)=0,得x=-
2
3
或x=1
x<-
2
3
或x>1时,f′(x)>0; 当-
2
3
<x<1
时,f′(x)<0…(4分)
所以,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-
2
3
]
,[1,+∞);…(6分)
函数f(x)的单调递减区间是[-
2
3
,1
]…(7分)
(2)由(1)知,f(x)在区间[-1,2]上的极大值为f(-
2
3
)=
22
27
+a

极小值为f(1)=-
3
2
+a
,…(9分)
f(-1)=
1
2
+a
,f(2)=2+a
所以,f(x)在[-1,2]上的最大值为f(2)=2+a,最小值为f(1)=-
3
2
+a
,…(12分)
由题意得,(2+a)+(-
3
2
+a)=5
,∴a=
9
4
…(14分)
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性,训练了利用导数求函数在闭区间上的最值的方法,
求函数在闭区间上的最值,应比较极值与端点值.此题是中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

3、设f(x)=x3+x-8,现用二分法求方程x3+x-8=0在区间(1,2)内的近似解,计算得f(1)<0,f(1.5)<0,f(1.75)<0,f(2)>0,则方程的根所在的区间是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设f(x)=x3+ax2+bx+c,又k是一个常数,已知当k<0或k>4时,f(x)-k=0只有一个实根,当0<k<4时,f(x)-k=0有三个相异实根,现给出下列命题:
(1)f(x)-4=0和f′(x)=0有且只有一个相同的实根.
(2)f(x)=0和f′(x)=0有且只有一个相同的实根.
(3)f(x)+3=0的任一实根大于f(x)-1=0的任一实根.
(4)f(x)+5=0的任一实根小于f(x)-2=0的任一实根.
其中错误命题的个数为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•韶关一模)设f(x)在区间I上有定义,若对?x1,x2∈I,都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,则称f(x)是区间I的向上凸函数;若对?x1,x2∈I,都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
,则称f(x)是区间I的向下凸函数,有下列四个判断:
①若f(x)是区间I的向上凸函数,则-f(x)在区间I的向下凸函数;
②若f(x)和g(x)都是区间I的向上凸函数,则f(x)+g(x)是区间I的向上凸函数;
③若f(x)在区间I的向下凸函数,且f(x)≠0,则
1
f(x)
是区间I的向上凸函数;
④若f(x)是区间I的向上凸函数,?x1,x2,x3,x4∈I,则有f(
x1+x2+x3+x4
4
)≥
f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)
4

其中正确的结论个数是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2006•朝阳区二模)已知函数f(x)=x3-
3
2
mx2+n
,1<m<2
(Ⅰ)若f(x)在区间[-1,1]上的最大值为1,最小值为-2,求m、n的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(Ⅲ)设函数f(x)的导函数为g(x),函数F(x)=
g(x)+3x+1
6
e2x
,试判断函数F(x)的极值点个数,并求出相应实数m的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x)恒成立;当x∈[0,1]时,f(x)=x3-4x+3.有下列命题:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②当x∈[-1,0]时f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列;
④关于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7个不同的根.
其中真命题的个数为(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案