Question

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．若b²=ac，求y=

1+sin2B

sinB+cosB

的取值范围．

Answer 1

分析：由a、b及c依次成等比数列，根据等比数列的性质得到b²=ac，然后根据余弦定理表示出cosB，把b²=ac代入后化简，利用基本不等式即可求出cosB大于等于

1

2

，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值得到B的范围，把所求的式子的分子中的“1”变为sin²B+cos²B，sin2B利用二倍角的正弦函数公式化简，分子刚好为一个完全平方式，与分母约分后得到sinB+cosB，然后提取

2

，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角（B+

π

4

）的正弦函数，根据B的范围，求出B+

π

4

的范围，根据正弦函数的值域及图象，得到sin（B+

π

4

）的范围，进而得到y的范围．

解答：解：∵b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

=

1

2

（

a

c

+

c

a

）-

1

2

≥

1

2

．
∴0＜B≤

π

3

，
y=

1+sin2B

sinB+cosB

=

(sinB+cosB)2

sinB+cosB

=sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

）．
∵

π

4

＜B+

π

4

≤

7π

12

，
∴

2

2

＜sin（B+

π

4

）≤1．
故1＜y≤

2

．

点评：此题考查学生掌握等比数列的性质及正弦函数的值域，灵活运用余弦定理及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．