Question

已知函数f（x）=

2x+1 x2 ， x＜- 1 2 ln(x+ 3 2 )  ， x≥- 1 2

，g（x）=x²-4x-4．若存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，则实数b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用基本不等式和对数函数的单调性，求出函数f（x）值域，进而根据存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，得到g（b）=b²-4b-4≤1，解不等式可得实数b的取值范围．

解答： 解：当x＜-

1

2

时，2x+1＜0，(2x+1)+

1

2x+1

≤-2，
∴

1

4

[(2x+1)+

1

2x+1

]-

1

2

≤-1，
∴

2x+1

x2

=

2x+1

1 4 (2x+1)2- 1 2 (2x+1)+ 1 4

=

1

1 4 [(2x+1)+ 1 2x+1 ]- 1 2

∈[-1，0），
当x≥-

1

2

时，x+

3

2

≥1，ln(x+

3

2

)∈[0，+∞），
∴f（x）=

2x+1 x2 ， x＜- 1 2 ln(x+ 3 2 )  ， x≥- 1 2

∈[-1，+∞），
若存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，
则g（b）=b²-4b-4≤1，
即b²-4b-5≤0，
解得b∈[-1，5]，
故答案为：[-1，5]

点评：本题考查的知识点是分段函数，函数的值域，基本不等式，对数函数的性质，存在性问题，二次不等式，是函数和不等式较为综合的应用，难度中档．