Question

数列{a_n}是等差数列,a₁=50,d=-0.6.
(1)从第几项开始有a_n＜0;
(2)求此数列的前n项和的最大值.

Answer 1

(1)从第85项开始,以后各项均小于0.
(2) (S_n)_max=S₈₄=50×84+×(-0.6)=2108.4.

(1)∵a₁=50,d=-0.6,
∴a_n=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6.
令-0.6n+50.6＜0,则n＞≈84.3.
由于n∈N^*,故当n≥85时,a_n＜0即从第85项开始,以后各项均小于0.
(2)解法一:∵d=-0.6＜0,a₁=50＞0,
由(1)知a₈₄＞0,a₈₅＜0，
∴a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₈₄＞0＞a₈₅＞a₈₆＞….
∴(S_n)_max=S₈₄=50×84+×(-0.6)= 2108.4.
解法二:S_n=50n+×(-0.6)=-0.3n²+50.3n=-0.3(n-)²+.
当n取接近于的自然数,即n=84时,S_n达到最大值,(S_n)_max=S₈₄=50×84+×(-0.6)="2" 108.4.