Question

2．已知函数f（x）=sinxcosx+$\frac{1}{2}$cos2x．
（1）若tanθ=2，求f（θ）的值；
（2）若函数y=g（x）的图象是由函数y=f（x）的图象上所有的点向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度而得到，且g（x）在区间（0，m）内是单调函数，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x，由tanθ=2，可得sin2θ和cos2θ的值，代入f（θ）=$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{1}{2}$cos2θ计算可得；
（2）由函数图象变换可得g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），可得函数的一个单调递增区间为[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]，结合三角函数图象特点可得实数m的最大值为$\frac{3π}{8}$．

解答 解：（1）化简可得f（x）=sinxcosx+$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∵tanθ=2，∴sin2θ=2sinθcosθ
=$\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}$=$\frac{4}{5}$，
同理可得cos2θ=cos²θ-sin²θ
=$\frac{co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$=$\frac{1-ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$-\frac{3}{5}$
∴f（θ）=$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{1}{2}$cos2θ
=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$+$\frac{1}{2}×（-\frac{3}{5}）$=$\frac{1}{10}$
（2）∵函数y=g（x）的图象是由函数y=f（x）的图象上所有的点向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度而得到，
∴g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
∴函数的一个单调递增区间为[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]，
∵g（x）在区间（0，m）内是单调函数，
∴实数m的最大值为$\frac{3π}{8}$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及二倍角公式和三角函数图象变换，属中档题．