Question

已知函数f（x）=x+

1

x

．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

（1）因为函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
所以f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x）奇函数）  …（3分）
（2）f（x）在（0，1]上的单调递减
设0＜x₁＜x₂≤1，
则0＜x₁x₂＜1，x₁-x₂＜0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(

1

x1

-

1

x2

)=(x1-x2)+(

x2-x1

x1x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

＞0
即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1]上的是单调递减函数…（8分）
（3）由（2）同理可证f（x）在[1，+∞）上的是单调递增函数，
又f（x）在（0，1]上的是单调递减函数，
∴x＞0时，f（x）_min=f（1）=2．
而f（x）为奇函数，其图象关于原点对称
∴x＜0时，f（x）_max=f（-1）=-2．
所以函数f（x）的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞）．…（12分）