Question

【题目】已知函数
f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣ （sinx+1）
g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣ ）
证明：
（1）存在唯一x0∈（0， ），使f（x0）=0；
（2）存在唯一x1∈（ ，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0 ， 有x0+x1＜π．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵当x∈（0， ）时，f′（x）=﹣（1+sinx）（π+2x）﹣2x﹣ cosx＜0，

∴函数f（x）在（0， ）上为减函数，

又f（0）=π﹣ ＞0，f（ ）=﹣π2﹣ ＜0；

∴存在唯一的x0∈（0， ），使f（x0）=0；

（2）证明：考虑函数h（x）= ﹣4ln（3﹣ x），x∈[ ，π]，

令t=π﹣x，则x∈[ ，π]时，t∈[0， ]，

记函数u（t）=h（π﹣t）= ﹣4ln（1+ t），

则u′（t）= ﹣

= ﹣

= ﹣

=

= ，

由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＞0；

在（0，x0）上u（x）是增函数，又u（0）=0，∴当t∈（0，x0]时，u（t）＞0，

∴u（t）在（0，x0]上无零点；

在（x0， ）上u（t）是减函数，且u（x0）＞0，u（ ）=﹣4ln2＜0，

∴存在唯一的t1∈（x0， ），使u（t1）=0；

∴存在唯一的t1∈（0， ），使u（t1）=0；

∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（ ，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；

∵当x∈（ ，π）时，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，

∴存在唯一的x1∈（ ，π），使g（x1）=0，

∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．

【解析】（1）根据x∈（0， ）时，f′（x）＜0，得出f（x）是单调减函数，
再根据f（0）＞0，f（ ）＜0，得出此结论；（2）构造函数h（x）= ﹣4ln（3﹣ x），x∈[ ，π]，令t=π﹣x，得u（t）=h（π﹣t），求出u（t）存在唯一零点t1∈（0， ），即证g（x）存在唯一的零点x1∈（ ，π），满足x0+x1＜π．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．