Question

【题目】设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（1）求M；
（2）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得 ①，或 ②．

解①求得1≤x≤ ，解②求得 0≤x＜1．

综上，原不等式的解集为[0， ]．

（2）证明：

由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣ ≤x≤ ，

∴N=[﹣ ， ]，

∴M∩N=[0， ]．

∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，

∴x2f（x）+x[f（x）]2=xf（x）[x+f（x）]= ﹣ ≤ ，

故要证的不等式成立．

【解析】（1）由所给的不等式可得 ①，或 ②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．（2）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0， ]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为 ﹣ ，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证．
【考点精析】掌握集合的交集运算是解答本题的根本，需要知道交集的性质：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB，反之也成立．