【题目】设函数f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.
(1)求M;
(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤ .
【答案】
(1)解:由f(x)=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得 ①,或
②.
解①求得1≤x≤ ,解②求得 0≤x<1.
综上,原不等式的解集为[0, ].
(2)证明:
由g(x)=16x2﹣8x+1≤4,求得﹣ ≤x≤
,
∴N=[﹣ ,
],
∴M∩N=[0, ].
∵当x∈M∩N时,f(x)=1﹣x,
∴x2f(x)+x[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]= ﹣
≤
,
故要证的不等式成立.
【解析】(1)由所给的不等式可得 ①,或
②,分别求得①、②的解集,再取并集,即得所求.(2)由g(x)≤4,求得N,可得M∩N=[0,
].当x∈M∩N时,f(x)=1﹣x,不等式的左边化为
﹣
,显然它小于或等于
,要证的不等式得证.
【考点精析】掌握集合的交集运算是解答本题的根本,需要知道交集的性质:(1)A∩BA,A∩B
B,A∩A=A,A∩
=
,A∩B=B∩A;(2)若A∩B=A,则A
B,反之也成立.
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【题目】在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg) | 300 | 500 |
概率 | 0.5 | 0.5 |
作物市场价格(元/kg) | 6 | 10 |
概率 | 0.4 | 0.6 |
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
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【题目】一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
(2)表示所取3张卡片上的数字的中位数,求
的分布列与数学期望.
(注:若三个数满足
,则称
为这三个数的中位数).
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【题目】已知函数
f(x)=(cosx﹣x)(π+2x)﹣ (sinx+1)
g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣ )
证明:
(1)存在唯一x0∈(0, ),使f(x0)=0;
(2)存在唯一x1∈( ,π),使g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的x0 , 有x0+x1<π.
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【题目】随机将1,2,…,2n(n∈N* , n≥2)这2n个连续正整数分成A、B两组,每组n个数,A组最小数为a1 , 最大数为a2;B组最小数为b1 , 最大数为b2;记ξ=a2﹣a1 , η=b2﹣b1 .
(1)当n=3时,求ξ的分布列和数学期望;
(2)C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C发生的概率P(C);
(3)对(2)中的事件C, 表示C的对立事件,判断P(C)和P(
)的大小关系,并说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,且椭圆
上一点
到点
的距离的最大值为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,
为抛物线
:
上一动点,过点
作抛物线
的切线交椭圆
于
两点,求
面积的最大值.
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【题目】由不等式组 确定的平面区域记为Ω1 , 不等式组
确定的平面区域记为Ω2 , 在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( )
A.
B.
C.
D.
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