【题目】已知函数.
(1)当时,函数恰有两个不同的零点,求实数的值;
(2)当时,
① 若对于任意,恒有,求的取值范围;
② 若,求函数在区间上的最大值.
【答案】(1) ;(2)①. ;②.
【解析】试题分析:(1)当时,考虑的解,化简后得到或者,它们共有两个不同的零点,所以必有解,从而.
(2)在上恒成立等价于在上恒成立,因此考虑在上的最小值和在上的最大值即可得到的取值范围.
(3)可化为,则当或 时, 在上递增;当时, 在上单调递增,在上单调递减,两类情形都可以求得函数的最大值.当时, 在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,因此,比较的大小即可得到的表达式.
解析:(1)当时, ,由解得或,由解得或.因为恰有两个不同的零点且,所以,或 ,所以.
(2)当时, ,
①因为对于任意,恒有, 即 ,即,因为时, ,所以, 即恒有 令, 当时, , ,所以, 所以, 所以.
②
当时, ,
这时在上单调递增,此时;
当时, ,
在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
所以, ,
而 ,
当时, ;
当时, ;
当时, ,
这时在上单调递增,在上单调递减,此时;
当时, , 在上单调递增,此时;
综上所述, 时,
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【题目】已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并证明你的结论;
(3)在函数图像上是否存在两个不同的点,使直线垂直轴,若存在,求出两点坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】已知圆的方程为: 。
(1)求圆的圆心所在直线方程一般式;
(2)若直线被圆截得弦长为,试求实数的值;
(3)已知定点,且点是圆上两动点,当可取得最大值为时,求满足条件的实数的值。
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【题目】已知右焦点为F(c,0)的椭圆M: =1(a>b>0)过点 ,且椭圆M关于直线x=c对称的图形过坐标原点.
(1)求椭圆M的方程;
(2)过点(4,0)且不垂直于y轴的直线与椭圆M交于P,Q两点,点Q关于x轴的对称原点为E,证明:直线PE与x轴的交点为F.
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【题目】给出下列命题:
①如果不同直线都平行于平面,则一定不相交;
②如果不同直线都垂直于平面,则一定平行;
③如果平面互相平行,若直线,直线,则;
④如果平面互相垂直,且直线也互相垂直,若,则;
其中正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:x2+y2=1和点 ,点B(1,1),M为圆O上动点,则2|MA|+|MB|的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知双曲线 的离心率为e,经过第一、三象限的渐近线的斜率为k,且e≥ k.
(1)求m的取值范围;
(2)设条件p:e≥ k;条件q:m2﹣(2a+2)m+a(a+2)≤0.若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.
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