【题目】如图,在四棱锥中, , , ,平面底面, ,
和分别是和的中点,求证:
(1)平面;
(2);
(3)平面平面.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【解析】试题分析:(1)由已知得ABCD是平行四边形,从而AD∥BE,又AD平面PAD,BE不在平面PAD内,即可证得BE∥平面PAD;
(2)根据面面垂直的性质可得PA⊥平面ABCD,故而PA⊥BC;
(3)先证CD⊥平面PAD得出CD⊥PD,故而CD⊥EF,再证四边形ABED是矩形得出CD⊥BE,从而CD⊥平面BEF,于是平面BEF⊥平面PCD.
试题解析:
(1)∵AB∥CD,CD=2AB,E是CD的中点,
∴四边形ABED为平行四边形,
∴BE∥AD.
又AD平面PAD,BE不在平面PAD内,
∴BE∥平面PAD.
(2)∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PA⊥平面ABCD.
∵BC平面ABCD
∴PA⊥BC
(3)在平行四边形ABED中,AB⊥AD,
∴ABED为矩形,
∴BE⊥CD ①.
由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB,再由AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD,
∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥PD.
∵E、F分别为CD和PC的中点,可得EF∥PD,
∴CD⊥EF ②.
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线,故有CD⊥平面BEF.
∵CD平面PCD,
∴平面BEF⊥平面PCD.
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【题目】已知函数f(x)=alnx﹣x2+1. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x﹣y+b=0,求实数a和b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若a<0,且对任意x1 , x2∈(0,+∞),x1≠x2 , 都有|f(x1)﹣f(x2)|>|x1﹣x2|,求a的取值范围.
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【题目】已知线段的端点,端点在圆上运动
(Ⅰ)求线段的中点的轨迹方程.
(Ⅱ) 设动直线与圆交于两点,问在轴正半轴上是否存在定点,使得直线与直线关于轴对称?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】(文科)设函数f(x)=x2﹣2ax﹣8a2(a>0),记不等式f(x)≤0的解集为A.
(1)当a=1时,求集合A;
(2)若(﹣1,1)A,求实数a的取值范围.
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【题目】已知,函数.
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)若关于的方程的解集中恰有一个元素,求的取值范围;
(Ⅲ)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的和不大于,求的取值范围.
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【题目】将名学生分成两组参加城市绿化活动,其中组布置盆盆景, 组种植棵树苗.根据历年统计,每名学生每小时能够布置盆盆景或者种植棵树苗.设布置盆景的学生有人,布置完盆景所需要的时间为,其余学生种植树苗所需要的时间为(单位:小时,可不为整数).
⑴写出、的解析式;
⑵比较、的大小,并写出这名学生完成总任务的时间的解析式;
⑶应怎样分配学生,才能使得完成总任务的时间最少?
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