Question

【题目】已知函数f（x）=alnx﹣x2+1． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为4x﹣y+b=0，求实数a和b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若a＜0，且对任意x1 ， x2∈（0，+∞），x1≠x2 ， 都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|x1﹣x2|，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=alnx﹣x2+1，

求导得 ，

因为，在x=1处的切线方程为4x﹣y+b=0，

所以，f′（1）=a﹣2=4，得a=6，4﹣f（1）+b=0，b=﹣4．

（Ⅱ）

当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，

所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．

当a＞0时， （舍负）

， ，

f（x）在 上是增函数，在 上是减函数；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若a＜0，f（x）在（0，+∞）上是减函数，

不妨设x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），|f（x1）﹣f（x2）|＞|x1﹣x2|，

即f（x1）﹣f（x2）＞x2﹣x1即f（x1）+x1＞f（x2）+x2，

只要满足g（x）=f（x）+x在（0，+∞）为减函数，

g（x）=alnx﹣x2+1+x，

即a≤2x2﹣x在（0，+∞）恒成立，

a≤（2x2﹣x）min，

，

所以

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（1）的值，求出a的值，结合切线方程求出b的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）令g（x）=alnx﹣x2+1+x，求出函数的导数，问题转化为a≤2x2﹣x在（0，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．