【题目】已知,函数.
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)若关于的方程的解集中恰有一个元素,求的取值范围;
(Ⅲ)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的和不大于,求的取值范围.
【答案】(1) 解集为;(2) 或;(3) 的取值范围是.
【解析】试题分析:
(1)根据题意将不等式化为指数不等式求解.(2)由题意可得方程只有一个解,即只有一解,令,则上只有一解,分离参数后并结合图象求解即可.(3)先征得函数在定义域内单调递减,从而可得在区间上的最大值、最小值,由题意得恒成立,整理得恒成立.令,可得恒成立,求得函数在上的最大值后解不等式可得的范围.
试题解析:
(1)当时, ,
∴,
整理得,解得.
∴原不等式的解集为.
(2)方程,
即为,
∴,
∴,
令,则,
由题意得方程在上只有一解,
令, ,
结合图象可得,当或时,直线的图象只有一个公共点,即方程只有一个解.
∴实数的范围为.
(3)∵函数在上单调递减,
∴函数在定义域内单调递减,
∴函数在区间上的最大值为,最小值为,
∴
由题意得,
∴恒成立,
令,
∴恒成立,
∵在上单调递增,
∴
∴,
解得,
又,
∴.
∴实数的取值范围是.
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【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
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【题目】已知圆的方程为: 。
(1)求圆的圆心所在直线方程一般式;
(2)若直线被圆截得弦长为,试求实数的值;
(3)已知定点,且点是圆上两动点,当可取得最大值为时,求满足条件的实数的值。
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【题目】给出下列命题:
①如果不同直线都平行于平面,则一定不相交;
②如果不同直线都垂直于平面,则一定平行;
③如果平面互相平行,若直线,直线,则;
④如果平面互相垂直,且直线也互相垂直,若,则;
其中正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】函数的定义域为,如果存在实数, 使得对任意满足且的恒成立,则称为广义奇函数.
(Ⅰ)设函数,试判断是否为广义奇函数,并说明理由;
(Ⅱ)设函数,其中常数 ,证明是广义奇函数,并写出的值;
(Ⅲ)若是定义在上的广义奇函数,且函数的图象关于直线(为常数)对称,试判断是否为周期函数?若是,求出的一个周期,若不是,请说明理由.
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【题目】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:x2+y2=1和点 ,点B(1,1),M为圆O上动点,则2|MA|+|MB|的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】过点(0,2)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为 的椭圆C相交于A、B两点,直线 过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称.
(1)求直线l的方程;
(2)求椭圆C的方程.
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【题目】如图所示,三棱柱A1B1C1﹣ABC的侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AB=AA1 , D是棱CC1的中点.
(Ⅰ)证明:平面AB1C⊥平面A1BD;
(Ⅱ)在棱A1B1上是否存在一点E,使C1E∥平面A1BD?并证明你的结论.
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