Question

【题目】如图所示，三棱柱A1B1C1﹣ABC的侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AA1 ， D是棱CC1的中点．

（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BD；
（Ⅱ）在棱A1B1上是否存在一点E，使C1E∥平面A1BD？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABC，AC平面ABC，∴AA1⊥AC，

又∵AB⊥AC，AA1∩AB=A，∴AC⊥平面ABB1A1，

又∵A1B平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，

∵AB=AA1，∴A1B⊥AB1，

又∵AB1∩AC=A，∴A1B⊥平面AB1C，

又∵A1B平面A1BD，∴平面AB1C⊥平面A1BD．

（Ⅱ）当E为A1B1的中点时，C1E∥平面A1BD．下面给予证明．

设AB1∩A1B=F，连接EF，FD，C1E，

∵EF= AA1，EF∥AA1，且C1D= AA1，C1D∥AA1，

∴EF∥C1D，且EF=C1D，

∴四边形EFDC1是平行四边形，

∴C1E∥FD，又∵C1E平面A1BD，FD平面A1BD，

∴C1E∥平面A1BD．

【解析】（Ⅰ）本小题利用“如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直”；（Ⅱ）证明一条直线平行于一个平面只需证明在平面内有一条直线与该直线平行即可.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．