Question

【题目】函数的定义域为，如果存在实数， 使得对任意满足且的恒成立，则称为广义奇函数.

（Ⅰ）设函数，试判断是否为广义奇函数，并说明理由；

（Ⅱ）设函数，其中常数 ，证明是广义奇函数，并写出的值；

（Ⅲ）若是定义在上的广义奇函数，且函数的图象关于直线（为常数）对称，试判断是否为周期函数？若是，求出的一个周期，若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）是广义奇函数（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】试题分析：

(Ⅰ) 是广义奇函数.理由如下：满足题意时只需证明存在实数， 使得对任意恒成立.转化为对任意恒成立,据此可得存在，使得是广义奇函数.

(Ⅱ)由题意结合广义奇函数的定义可得， 时， 是广义奇函数.则，据此可得原式.

(Ⅲ)由题意可得， 恒成立.则：

. .故恒成立.把用代换得据此可得分类讨论有：当时， 是函数的一个周期.当时， 对恒成立.

则题中的结论成立.

试题解析：

（Ⅰ）是广义奇函数. 理由如下：

的定义域为，

只需证明存在实数， 使得对任意恒成立.

由，得，

即.

所以对任意恒成立,

即

从而存在，使对任意恒成立.

所以是广义奇函数.

（Ⅱ）记的定义域为，只需证明存在实数， 使得当且时，

恒成立，即恒成立.

所以，

化简得， .

所以, .因为，可得， ,

即存在实数， 满足条件，从而是广义奇函数.

由以上证明可知， 是广义奇函数，对，有 ，即 ，故

（Ⅲ）因为是定义在上的广义奇函数，且函数的图象关于直线对称，

所以有， 恒成立.

由得.

由得.

所以①恒成立. 把用代换得

，

即②

由①②得：

当时， 为周期函数， 是函数的一个周期.

当时，由①得，从而对恒成立.

函数为常函数，也为周期函数，

任何非零实数均为函数的周期.