Question

【题目】对正整数n，记In={1，2，3，...,n}，Pn={|m∈In，k∈In}．

（1）求集合P7中元素的个数；

（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．

Answer 1

【答案】（1）46；（2）n的最大值为14.

【解析】试题分析：（1）对于集合P7，有n=7．当k=4时，根据Pn中有3个数与In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．
（2）先用反证法证明证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．

试题解析：

（1）对于集合P7 ，有n=7.当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}中有3个数（1，2，3）与

In={1，2，3，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46.

（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=PnIn ．

不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，

这与A为稀疏集相矛盾．

再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．

事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14

当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列2个稀疏集的并：

A2={，，，}，B2={，，}．

当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，，，}，

可以分为下列2个稀疏集的并：

A3={，，，，}，B3={，，，，}．

最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，

它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，

因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14.

综上可得，n的最大值为14.