Question

【题目】过点（0，2）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为 的椭圆C相交于A、B两点，直线 过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称．
（1）求直线l的方程；
（2）求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由e= = ，得 ，从而a2=2b2，c=b，

设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，

则x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，（x12﹣x22）+2（y12﹣y22）=0，

=﹣

设AB中点为（x0，y0），则kAB=﹣

又（x0，y0），在直线 上， ，于是：

kAB=﹣ =﹣1，则直线l的方程为y=﹣x+2

（2）解：右焦点（b，0）关于直线l的对称点设为：（x′，y′），

则 解得 ，

由点（2，2﹣b）在椭圆上，得4+2（2﹣b）2=2b2，b2= ，a2= ，

∴所求椭圆C的方程的方程为：

【解析】本题求直线l的方程关键在于求直线的斜率，根据题意设出椭圆方程，并设出点A，B及线段AB中点的坐标，利用点A，B在椭圆上得到用线段AB中点坐标表示的直线l的斜率，结合该中点在直线上即可求得直线l的斜率；（2）椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，那么右焦点与其对称点所在的直线与直线l互相垂直即两直线斜率积为-1，而且右焦点与其对称点组成的线段的中点在直线l上.
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．