Question

5．已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b²+c²=a²+bc．
（1）求角A的大小；
（2）若b²+c²=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理以及特殊角的三角函数值，即可求出角A的值；
（2）由正弦定理求出a的值，再根据题意求出bc的值，从而求出三角形的面积．

解答 解：（1）△ABC中，b²+c²=a²+bc，
∴b²+c²-a²=bc，…（2分）
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$；…（4分）
又∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$； …（6分）
（2）∵$\frac{a}{sinA}$=2R，R为△ABC外接圆的半径，
∴a=2RsinA=2×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；…（8分）
又∵b²+c²=a²+bc且b²+c²=4，
∴4=${（\sqrt{3}）}^{2}$+bc，
解得bc=1；     …（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值应用问题，是基础题目．