(本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法)
(1)证法1:取
的中点
,连接
,
∵点
是
的中点,
∴
. …………… 1分
∵点
是
的中点,底面
是正方形,
∴
. …………… 2分
∴
.
∴四边形
是平行四边形.
∴
. …………… 3分
∵
平面
,
平面
,
∴
面
. …………… 4分
证法2:连接
并延长交
的延长线于点
,连接
,
∵点
是
的中点,
∴
, …………… 1分
∴点
是
的中点. …………… 2分
∵点
是
的中点,
∴
. …………… 3分
∵
面
,
平面
,
∴
面
. …………… 4分
证法3:取
的中点
,连接
,
∵点
是
的中点,点
是
的中点,
∴
,
.
∵
面
,
平面
,
∴
面
. ………… 1分
∵
面
,
平面
,
∴
面
. ……… 2分
∵
,
平面
,
平面
,
∴平面
面
. …………… 3分
∵
平面
,
∴
面
. …………… 4分
(2)解法1:∵
,
面
,
∴
面
. …………… 5分
∵
面
,
∴
. ………… 6分
过
作
,垂足为
,连接
,
∵
,
面
,
面
,
∴
面
. …………… 7分
∵
面
,
∴
. ……… 8分
∴
是二面角
的平面角. ………… 9分
在Rt△
中,
,
,得
,
…………… 10分
在Rt△
中,
,得
,
. …………… 11分
在Rt△
中,
, ……… 12分
. ……… 13分
∴二面角
的余弦值为
. ………… 14分
解法2:∵
,
面
,
∴
面
.
在Rt△
中,
,
,得
,
…………… 5分
以点
为原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,
建立空间直角坐标系
, …………… 6分
则
.
∴
,
. …………… 8分
设平面
的法向量为
,
由
,
,
得
令
,得
,
.
∴
是平面
的一个法向量. …………… 11分
又
是平面
的一个法向量, …………… 12分
. …………… 13分
∴二面角
的余弦值为
. …………… 14分