Question

图形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中点．AC，BD交于O点．

（1）二面角Q－BD－C的大小：
（2）求二面角B－QD－C的大小．

Answer 1

（1）（2）

试题分析：连QO，则QO∥PA且QO＝PA＝AB
∵ PA⊥面ABCD
∴ QO⊥面ABCD
面QBD过QO，
∴ 面QBD⊥面ABCD
故二面角Q－BD－C等于90°．
（Ⅱ）解：过O作OH⊥QD，垂足为H，连CH．
∵ 面QBD⊥面BCD，
又∵ CO⊥BD
CO⊥面QBD
CH在面QBD内的射影是OH
∵ OH⊥QD
∴ CH⊥QD
于是∠OHC是二面角的平面角．
设正方形ABCD边长2，
则OQ＝1，OD＝，QD＝．
∵ OH·QD＝OQ·OD
∴ OH＝．
又OC＝
在Rt△COH中：tan∠OHC＝＝·＝
∴ ∠OHC＝60°
故二面角B－QD－C等于60°．
点评：本题还可用空间向量的方法求二面角