Question

10．设函数y=f（x）在[-3，3]上是奇函数，且对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2：
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）求不等式f（x-1）＞4的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=1，即可得出．
（Ⅱ）结论：函数f（x）在[-3，3]上是单调递减的，如下：任取-3≤x₁＜x₂≤3，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，即可判断出结论．
（Ⅲ）由于f（2）=-4，不等式f（x-1）＞4等价于f（x-1）＞-f（2）=f（-2），又根据函数f（x）在[-3，3]上是单调递减，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=1得：f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=-4．
（Ⅱ）结论：函数f（x）在[-3，3]上是单调递减的，证明如下：
任取-3≤x₁＜x₂≤3，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₁+x₂-x₁）-f（x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
故函数f（x）在[-3，3]上是单调递减．
（Ⅲ）由于f（2）=-4，
∴不等式f（x-1）＞4等价于f（x-1）＞-f（2）=f（-2），
又∵函数f（x）在[-3，3]上是单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3≤x-1≤3}\\{x-＜-2}\end{array}\right.$，解得-2≤x＜-1，
故原不等式的解集为[-2，-1）．

点评 本题考查了抽象函数的奇偶性单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．