Question

15．在△ABC中，已知tanA=$\frac{1}{2}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，若△ABC最长边为$\sqrt{10}$，则最短边长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知及同角三角函数基本关系式可求cosA，sinA，sinB，利用两角和的余弦函数公式可求cosC=-$\frac{1}{\sqrt{2}}$＜0，可得c=$\sqrt{10}$，最短边为b，由正弦定理即可求得b的值．

解答 解：由tanA=$\frac{1}{2}$＞0，得cosA=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinA=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
由cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$＞0，得sinB=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
于是cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{1}{\sqrt{2}}$＜0，即∠C为最大角，
故有c=$\sqrt{10}$，最短边为b，
于是由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，求得b=$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．