(1)求an的表达式;
(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材量应不少于a,如果b=a,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年(取lg2=0.30)?
思路分析:本题依题意先计算出第一年、第二年、第三年后的森林木材的存量,归纳猜想第n年后该地区森林木材的存量,并用数学归纳法加以证明.由题意知该地区若发生水土流失,则森林木材存量必须小于a,建立起an<a的不等式,解之就可求得相应的n值.
解:(1)设第一年的森林木材存量为a1,第n年后的森林木材存量为an,
∴a1=a(1+)-b=a-b,
a2=a1-b=(a-b)-b=()2a-(+1)b,
a3=a2-b=()3a-[()2++1]b,
由上面的a1,a2,a3推测:an=()na-[()n-1+()n-2+…++1]b=()na-4[()n-1]b(n∈N*).
证明:①当n=1时,a1=a-b,已证推测成立.
②假设n=k时,ak=()ka-4[()k-1]b成立,则当n=k+1时,
ak+1=ak-b={()ka-4[()k-1]b}-b=()k+1a-4[()k+1-1]b.
也就是说当n=k+1时,公式也成立.
由①②知对n∈N*,公式成立.
(2)当b=a时,若该地区今后发生水土流失,则森林木材存量必小于a,
∴()na-4[()n-1]a<a,即()n>5.
两边取对数得nlg>lg5,n>≈7.
∴经过6年后该地区开始水土流失.
科目:高中数学 来源: 题型:
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科目:高中数学 来源:设计选修数学-4-5人教A版 人教A版 题型:044
某地区原有森林木材存量为a,且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年底要砍伐的木材量为b,设an为n年后该地区森林木材存量.
(1)求an的表达式;
(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材量应不少于a,如果b=a,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年?(取lg2=0.30).
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科目:高中数学 来源:专题七 应用性问题 题型:044
某地区原有森林木材存量为a,且每年的增长率为25%,因生产建设的需要,每年年底要砍伐的木材量为b,设an为n年后该地区的森林木材存量,
(1)求an的表达式;
(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量应不少于,如果b=,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,要经过几年?(取lg2=0.30)
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科目:高中数学 来源: 题型:
(1)求an的表达式;
(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材量应不少于a,如果b=a,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年?(取lg2=0.30).
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