Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且有a₁=1，S_n+1=a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若b_n=

n

4an

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设c_k=

k+2

Sk(Tk+k+1)

，{c_k}的前n项和为A_n，是否存在最小正整数m，使得不等式A_n＜m对任意正整数n恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后即可证得数列为等比数列，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}的通项代入b_n=

n

4an

，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）把S_k，T_k代入c_k=

k+2

Sk(Tk+k+1)

，整理后利用裂项相消法化简，放缩后可证得数列不等式．

解答： （1）当n=1时，a₂=S₁+1=a₁+1=2；
当n≥2时，S_n+1=a_n+1，S_n-1+1=a_n，相减得a_n+1=2a_n，
又a₂=2a₁，
{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an=2n-1；
（2）由（1）知an=2n-1，
∴bn=

n

4an

=

n

4•2n-1

=

n

2n+1

，
∴Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，

1

2

Tn=

1

23

+

2

24

+…+

n-1

2n+1

+

n

2n+2

，
两式相减得

1

2

Tn=

1

22

+

1

23

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

=

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+2

=

1

2

-

n+2

2n+2

，
∴Tn=1-

n+2

2n+1

；
（3）C_K=

k+2

Sk(Tk+k+1)

=

k+2

(2k-1)(1- k+2 2k+1 +k+1)

=

1

(2k-1)(1- 1 2k+1 )

=

2k+1

(2k-1)(2k+1-1)

=2(

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)．
∴

n

k=1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

=

n

k=1

2(

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)=2(1-

1

2k+1-1

)＜2．
若不等式∴

n

k=1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

＜m对任意正整数n恒成立，则m≥2，
∴存在最小正整数m=2，使不等式∴

n

k=1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

＜m对任意正整数n恒成立．…（14分）

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了裂项相消法与错位相减法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．