Question

已知圆C：x²+8x+y²+a=0在y轴上截得的线段长为4．
（1）求过点P（-2，4）且与圆C相切的直线方程；
（2）若点O和点C分别是坐标原点和已知圆的圆心，点Q为圆C上任意一点，求

OQ

•

CQ

的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）利用圆C：x²+8x+y²+a=0在y轴上截得的线段长为4，求出圆的方程，设出直线方程，利用点到直线的距离公式，求过点P（-2，4）且与圆C相切的直线方程；
（2）设Q（-4+2

5

cosα，2

5

sinα），则

OQ

•

CQ

=（-4+2

5

cosα，2

5

sinα）•（2

5

cosα，2

5

sinα）=-8

5

cosα+20，即可求

OQ

•

CQ

的取值范围．

解答： 解：（1）∵圆C：x²+8x+y²+a=0在y轴上截得的线段长为4，
∴2

-a

=4，
∴a=-4，
∴圆C：x²+8x+y²-4=0的圆心为圆心坐标为（-4，0），半径为2

5

，
设直线方程为y-4=k（x+2），则kx-y+2k+4=0，
∴

|-4k+2k+4|

k2+1

=2

5

，
∴k=-

1

2

，
∴过点P（-2，4）且与圆C相切的直线方程为x+2y-6=0；
（2）设Q（-4+2

5

cosα，2

5

sinα），则

OQ

•

CQ

=（-4+2

5

cosα，2

5

sinα）•（2

5

cosα，2

5

sinα）=-8

5

cosα+20，
∴

OQ

•

CQ

的取值范围是[-8

5

+20，8

5

+20]．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．