Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC，∠BAC为直角，D，E分别为BC，AC的中点，AB=2PA=4．
（1）在BC上是否存在一点F，使AD∥平面PEF？请说明理由；
（2）对于（1）中的点F，求三棱锥F-PDE的高．

Answer 1

解：（1）取CD中点F，连接EF、PE，则AD∥平面PEF，证明如下
∵△ACD中，E、F分别是AC、CD的中点，∴EF∥AD
∵EF⊆平面PEF，AD?平面PEF，
∴AD∥平面PEF，即存在CD中点F，使AD∥平面PEF
（2）连接DE、DP，设F到平面PDE的距离为d
∵AB=AC=4，∠BAC为直角，∴S_△ABC=AB•AC=8
又∵AD是△ABC的边BC上的中线，EF是△ACD的中位线
∴S_△DEF=S_△ABC=1
∵PA⊥平面ABC，AC、AD⊆平面ABC，
∴Rt△PAE中，PE==2，Rt△PAD中，PD==2
又∵DE是△ABC的中位线，∴DE=AB=2
∴△PDE中，PE²+DE²=12=PD²，可得S_△PDE=PE•DE=2，
由此可得三棱锥F-PDE体积V=S_△DEF×PA=S_△PDE×d
∴F到平面PDE的距离为：d===
分析：（1）取CD中点F，连接EF、PE，则利用三角形中位线定理结合线面平行的判定定理，可以证明AD∥平面PEF；
（2）因为三棱锥F-PDE的体积等于三棱锥P-FDE的体积，利用线面垂直的性质结合解三角形，分别求出S_△DEF和S_△PDE，利用等体积转换，即可算出F到平面PDE的距离d．
点评：本题给出一条侧棱垂直于底且底面是等腰直角三角形的三棱锥，求证线面平行并且求点到平面的距离，着重考查了线面平行的判定、线面垂直的性质和正余弦定理解三角形等知识，属于基础题．