Question

7．已知定义在R上的函数f（x）=|2x-2|+1，g（x）=x²+2x-$\frac{1}{2}$．
（1）解不等式f（x）≥3-x；
（2）若对?x∈R，$\frac{1}{2}$f（x）+|x+1|＞g（m）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）≥3-x，即|2x-2|≥2-x，即2x-2≥2-x 或2x-2≤x-2，由此求得x的范围．
（2）由题意可得等价于|x-1|+|x+1|≥m²+2m-$\frac{1}{2}$恒成立，可得|x-1|+|x+1|的最小值2≥m²+2m-$\frac{1}{2}$，由此求得m的范围．

解答 解：（1）不等式f（x）≥3-x，即|2x-2|+1≥3-x，即|2x-2|≥2-x，
∴2x-2≥2-x 或2x-2≤x-2，∴x≥$\frac{4}{3}$ 或x≤0，故原不等式的解集为{x|x≥$\frac{4}{3}$ 或x≤0}．
（2）对?x∈R，$\frac{1}{2}$f（x）+|x+1|＞g（m），等价于|x-1|+|x+1|≥m²+2m-$\frac{1}{2}$恒成立．
根据绝对值的意义，|x-1|+|x+1|表示数轴上的x对应点到1、-1的距离之和，它的最小值为2，
可得2≥m²+2m-$\frac{1}{2}$，求得-3＜m＜1．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，函数的恒成立问题，属于中档题．