Question

【题目】已知函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x(a∈R且a≠0)．

(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程；

(2)当a＞0时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值；

(3)当x∈[2a，2a＋2]时，不等式|f′(x)|≤3a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函数y＝f(x)的单调递增区间为(a，3a)，单调递减区间为(－∞，a)和(3a，＋∞)，极大值为0，极小值为－a3；（3）

【解析】

(1)当a＝－1时,f′(x)＝－x2－4x－3, f(－2)＝，f′(－2)＝1,点斜式写出直线方程即可；（2）对函数求导，判断导函数的正负得到单调区间和极值；（3）通过研究导函数的性质得到f′(x)取得最大值a2，当x＝2a＋2时，f′(x)取得最小值a2－4，进而得到解得即可.

(1)∵当a＝－1时，f(x)＝－x3－2x2－3x，f′(x)＝－x2－4x－3，∴f(－2)＝－8＋6＝，f′(－2)＝－4＋8－3＝1，∴所求切线方程为y＝[x－(－2)]＋，即3x－3y＋8＝0.

(2)∵f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－a)(x－3a)．当a＞0时，由f′(x)＞0，得a＜x＜3a；由f′(x)＜0，得x＜a或x＞3a.∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(a，3a)，单调递减区间为(－∞，a)和(3a，＋∞)．∵f(3a)＝0，f(a)＝－a3，∴当a＞0时，函数y＝f(x)的极大值为0，极小值为－a3.

(3)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－2a)2＋a2，∵在区间[2a，2a＋2]上f′(x)单调递减，∴当x＝2a时，f′(x)取得最大值a2，当x＝2a＋2时，f′(x)取得最小值a2－4.

∵不等式|f′(x)|≤3a恒成立，∴解得1≤a≤3，故a的取值范围是[1，3]．