Question

13．已知O是△ABC外接圆的圆心，若4$\overline{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+6$\overline{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则cosC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 由$\overline{OC}$=-$\frac{1}{6}$（4$\overline{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$）．两边平方，由外接圆的性质，即可求得cos∠AOB=-$\frac{1}{8}$，且∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，根据半角公式即可求得cosC．

解答 解：由O是△ABC外接圆的圆心，则丨$\overline{OA}$丨=丨$\overrightarrow{OB}$丨=丨$\overline{OC}$丨=R，由4$\overline{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+6$\overline{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
且$\overline{OC}$=-$\frac{1}{6}$（4$\overline{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$）．
平方可得 R²=$\frac{1}{36}$（16R²+40R²cos∠AO，B+25R²），解得：cos∠AOB=-$\frac{1}{8}$，
由∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
则cos∠ACB=cos$\frac{1}{2}$∠AOB=$\sqrt{\frac{1+cos∠AOB}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
则cosC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查向量的运算和三角形外心的性质和应用，半角公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量运算法则的灵活运用，属于中档题