Question

1．已知函数f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$-1（a∈R）．
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在区间（0，e]上有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，根据导数与函数单调性的关系，求得f（x）的单调区间，即可求得函数f（x）的极值；
（2）分类讨论，当e^1-a＜e，根据函数的单调性，则f（x）的图象在区间（0，e]上有零点，等价于e^a-1-1≥0，即可求得a取值，当e^1-a≥e，则①当e^-a≤e，原问题等价于$\frac{1+a-e}{e}$≥0，解得a≥e-1．②当e^-a＞e，即a＜-1时，f（x）在（0，e]上的最大值为f（e）=$\frac{1+a-e}{e}$＜f（e^-a）=-1，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1，f（x）=$\frac{lnx+1}{x}$-1，x∈（0，+∞），
求导，f′（x）=$\frac{1-（lnx+1）}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$．
令f′（x）=0，得x=1．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（x）在x=1处取得极大值，f（x）_极大值=f（1）=0．
（2）由（1）可得f（x）在x=e^1-a处取得极大值，f（x）_极大值=f（e^1-a）=e^a-1-1．
（ⅰ）当e^1-a＜e，即a＞0时，由（1）知f（x）在（0，e^1-a）上是增函数，在（e^1-a，e]上是减函数，
∴f（x）_max=f（e^1-a）=e^a-1-1．
又当x=e^-a时，f（x）=-1，
∴f（x）的图象在区间（0，e]上有零点，等价于e^a-1-1≥0，
解得：a≥1，又a＞0，
∴a≥1．
（ⅱ）当e^1-a≥e，即a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递增，
又当x=e^-a时，f（x）=-1，
∴①当e^-a≤e，即a≥-1时，f（x）在（0，e]上的最大值为f（e）=$\frac{1+a-e}{e}$，
∴原问题等价于$\frac{1+a-e}{e}$≥0，解得a≥e-1．
又∵a≤0，∴此时无解．
②当e^-a＞e，即a＜-1时，f（x）在（0，e]上的最大值为f（e）=$\frac{1+a-e}{e}$＜f（e^-a）=-1，
∴此时无解．
综合（ⅰ）（ⅱ）得a≥1，
∴实数a的取值范围[1，+∞）．

点评 本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性及极值的关系，考查函数零点的判断，考查分类讨论思想及转化思想的应用，属于中档题．