Question

10．已知a为实常数，函数f（x）=lnx-ax+1．
（1）若f（x）在（1，+∞）是减函数，求实数a的取值范围；
（2）当0＜a＜1时函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求证：$\frac{1}{e}$＜x₁＜1且x₁+x₂＞2．（注：e为自然对数的底数）；
（3）证明$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{4}$+$\frac{ln4}{5}$+…+$\frac{lnn}{n+1}$＜$\frac{{n}^{2}-n}{4}$（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

分析 （1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系，即可求出，
（2）分两部分证明，根据导数函数的最值得关系，可证明$\frac{1}{e}$＜x₁＜1，再证根据导数和函数单调性的关系可得f（x₂）=0，则有f（$\frac{2}{a}$-x₁）＞f（x₂），问题得以证明，
（3）根据数列的函数特征，得到lnn²＜n²-1，即$\frac{ln}{n+1}$＜$\frac{n-1}{2}$，累加即可证明．

解答 解：（1）因f（x）=lnx-ax+1，则f°（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，又f（x）在（1，+∞）是减函数，
所以1-ax≤0在（1，+∞）时恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}$在（1，+∞）时恒成立，
∵y=$\frac{1}{x}$在（1，+∞）为减函数，
∴a≥1
则实数a的取值范围为[1，+∞）
（2）证明：因当0＜a＜1时函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂（x₁＜x₂），
则有lnx₁-ax₁+1=lnx₂-ax₂+1=0，
则有a=$\frac{1+ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{1+ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$．设g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$（x＞0），
则g′（x）=$\frac{lnx}{-{x}^{2}}$．
当0＜x＜1 时，g′（x）＞0；当x＞1 时，g′（x）＜0；
所以g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞） 上是减函数，g（x） 最大值为g（1）=1．
由于g（x₁）=g（x2），且0＜a＜1，
所以0＜$\frac{1+ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{1+ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$＜1，
又x₁＜x₂，所以$\frac{1}{e}$＜x₁＜1．
下面证明：当0＜x＜1时，lnx＜$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$．
设h（x）=lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$，x＞0，
则h′（x）=$\frac{（{x}^{2}-1）^{2}}{x（{x}^{2}+1）^{2}}$＞0．
则h（x）在（0，1]上是增函数，
所以当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0．
即当0＜x＜1时，lnx＜$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$．
由0＜x₁＜1得h（x₁）＜0．
所以ln₁＜$\frac{{x}_{1}^{2}-1}{{x}_{1}^{2}+1}$．
所以$\frac{1+ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$＜$\frac{2{x}_{1}}{{x}_{1}^{2}+1}$，即a＜$\frac{2{x}_{1}}{{x}_{1}^{2}+1}$，x₁（$\frac{2}{a}$-x₁）＞1，lnx₁+ln（$\frac{2}{a}$-x₁）＞0．
又ax₁=1+lnx₁，
所以ax₁-1+ln（$\frac{2}{a}$-x₁）＞0，ax₁+ln（$\frac{2}{a}$-x₁）＞1．
所以f（$\frac{2}{a}$-x₁）=ln（$\frac{2}{a}$-x₁）-a（$\frac{2}{a}$-x₁）+1=ln（$\frac{2}{a}$-x₁）+ax₁-1＞0，
而f（x₂）=0，则有f（$\frac{2}{a}$-x₁）＞f（x₂）．
由（1）知f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，则f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）内单调递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）内单调递减，
由0＜x₁＜$\frac{1}{a}$＜x₂，得$\frac{2}{a}$-x₁＞x₂，
所以$\frac{1}{e}$＜x₁＜1且x₁+x₂＞2．
（3）证明：由（1）知当a=1时，f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）上是减函数，且f（1）=0
所以当x∈（1，+∞）时恒有lnx-x+1＜0，即lnx＜x-1，
当n∈N^*，n≥2时，有lnn²＜n²-1，即$\frac{ln}{n+1}$＜$\frac{n-1}{2}$，累加得：
$\frac{ln2}{2}$+$\frac{ln3}{4}$+…+$\frac{ln}{n+1}$＜$\frac{1}{2}$（1+2+3…+（n-1））=$\frac{{n}^{2}-n}{4}$，（n∈N^*，n≥2时）

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、零点及不等式的证明等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力、推理论证能力，本题综合性强，能力要求较高．