Question

5．设向量$\overrightarrow a=（{1，x}）$，$\overrightarrow b=（{f（x），-x}）$且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=g（x）$，x∈R，若函数f（x）为偶函数，则g（x）的解析式可以为（　　）

• A． x³
• B． 1+x
• C． cosx
• D． xe^x

Answer 1

分析 运用向量数量积的坐标表示可得f（x）=x²+g（x），由题意可得g（x）为偶函数，结合选项，可知A，B，D不成立，C正确．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（{1，x}）$，$\overrightarrow b=（{f（x），-x}）$且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=g（x）$，
$\overrightarrow a•\overrightarrow b=f（x）-{x^2}=g（x）$，
∴f（x）=x²+g（x），
结合选项，
选项A为奇函数，不成立；B为非奇非偶函数，不成立；
C为g（x）=cosx时，函数f（x）为偶函数，成立；D为奇函数，不成立．
故选：C．

点评 本题考查函数的奇偶性的性质和判断，考查向量数量积的坐标表示，考查判断能力，属于中档题．