Question

11．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为2π，最小值为-2，且当x=$\frac{5π}{6}$时，函数取得最大值4．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]时，方程f（x）=m+1有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据函数f（x）的最小正周期求出ω的值，
再求出A、B、φ的值，即可写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，求出f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）把方程化为m=3sin（x-$\frac{π}{3}$），求出x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]时3sin（x-$\frac{π}{3}$）的取值范围即可．

解答 解：（I）函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为
T=$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1；
又 $\left\{\begin{array}{l}{B+A=4}\\{B-A=-2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{A=3}\\{B=1}\end{array}\right.$；
由题意，$\frac{5π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即 φ=2kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z；
∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴函数f（x）=3sin（x-$\frac{π}{3}$）+1；
（Ⅱ）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{6}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z，
即x∈[-$\frac{π}{6}$+2kπ，$\frac{5π}{6}$+2kπ]，k∈Z时，函数f（x）单调递增；
（Ⅲ）方程f（x）=m+1可化为m=3sin（x-$\frac{π}{3}$），
因为x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，所以x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
由正弦函数图象可知，实数m的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，3]．

点评 本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了方程与函数的应用问题，是综合题．