Question

1．已知圆C与y轴相切，圆心C在直线l₁：x-3y=0上，且截直线l₂：x-y=0的弦长为2$\sqrt{7}$，求圆C的方程．

Answer 1

分析 由圆心在直线x-3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．

解答 解：∵圆心C在直线l₁：x-3y=0上，∴可设圆心为C（3t，t）．
又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径r=|3t|．
∴$（\frac{|3t-t|}{\sqrt{2}}）^{2}+7=（3|t|）^{2}$，解得t=±1，
∴所求的圆的方程为（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9    …（12分）

点评 此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．