Question

6．已知数列{a_n}，满足a₁=b₁=1，a_n+1=b_n+n，${b_{n+1}}={a_n}+{（{-1}）^{n+1}}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}＜\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得${a}_{n}={{a}_{n-1}+（-1）}^{n}+n$，∴${a}_{n}={a}_{n-2}+（-1）^{n-1}+n-1$，当n为奇数时，a_n=a_n-2+n，累加，得a_n=$\frac{（n+1）^{2}}{4}$；当n为偶数时，a_n=a_n-2+n-2，累加，得a_n=$\frac{{n}^{2}-2n+8}{4}$，由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}$=（$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{2n-1}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{4}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}$）=4（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}$）+4（$\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+…+\frac{1}{4{n}^{2}-4n+8}$），由此利用放缩法能证明$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}＜\frac{7}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}，满足a₁=b₁=1，a_n+1=b_n+n，${b_{n+1}}={a_n}+{（{-1}）^{n+1}}$，
∴${a}_{n}={{a}_{n-1}+（-1）}^{n}+n$，∴${a}_{n}={a}_{n-2}+（-1）^{n-1}+n-1$，
当n为奇数时，a_n=a_n-2+n，累加，得：${a}_{n}={a}_{1}+\frac{n+3}{2}•\frac{n-1}{2}$=$\frac{（n+1）^{2}}{4}$，
当n为偶数时，a_n=a_n-2+n-2，累加，得${a}_{n}={a}_{2}+\frac{n-2}{2}•\frac{n}{2}$=$\frac{{n}^{2}-2n+8}{4}$，
故{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（n+1）^{2}}{4}，n为奇数}\\{\frac{{n}^{2}-2n+8}{4}，n为偶数}\end{array}\right.$，（n∈N^*）．
证明：（Ⅱ）$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}$=（$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{2n-1}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{4}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}$）
=4（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}$）+4（$\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+…+\frac{1}{4{n}^{2}-4n+8}$）
＜4（$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$）+（$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{n}^{2}-n+2}$）
＜2[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）]+[$\frac{1}{2}+（1-\frac{1}{2}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$]
=2（1-$\frac{1}{2n+1}$）+（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n}$）＜2+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$．
故$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}＜\frac{7}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列不等式的证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．