Question

11．已知抛物线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|=|MF|，点M横坐标为6，则p=4．

Answer 1

分析 把抛物线的参数方程化为普通方程为y²=2px，则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m ），分析可得E的坐标，把点M的坐标代入抛物线的方程可得p=$\frac{{m}^{2}}{6}$，再由|EF|=|ME|，解方程可得p的值．

解答 解：根据题意，抛物线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$，其普通方程为y²=2px，为顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线，
其焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），准线l的方程为x=-$\frac{p}{2}$；
则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形．
设点M的坐标为（6，m ），则点E的坐标为（-$\frac{p}{2}$，m），
把点M的坐标代入抛物线的方程可得m²=2×p×3，即p=$\frac{{m}^{2}}{6}$，
再由|EF|=|ME|，可得 p²+m²=（6+$\frac{p}{2}$）²，而p=$\frac{{m}^{2}}{6}$，
解可得p=4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，关键是将抛物线的参数方程化为普通方程，属于中档题．