Question

3．已知圆C的标准方程为x²+（y-1）²=5，直线l：x=y+m（m∈R）交圆C于点A，B，点O为坐标原点．
（1）当m=-1时，求△OAB的面积；
（2）是否存在正实数m，使得△OAB为锐角三角形，若存在，试求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当m=-1时，y=x+1，求出交点A，B的坐标，进而可得求△OAB的面积；
（2）是否存在正实数m，使得△OAB为锐角三角形，则直线l：x-y-m=0与圆心（0，1）的距离d满足：d=$\frac{|-1-m|}{\sqrt{2}}＞\frac{\sqrt{2}}{2}r=\frac{\sqrt{10}}{2}$，且d＜r，进而得到答案．

解答 解：（1）当m=-1时，y=x+1，代入x²+（y-1）²=5，可得x=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
则A，B的坐标分别为：（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$+1），（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{\sqrt{10}}{2}$+1）
∴△OAB的面积=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
（2）若△OAB为锐角三角形，
则直线l：x-y-m=0与圆心（0，1）的距离d满足：
d=$\frac{|-1-m|}{\sqrt{2}}＞\frac{\sqrt{2}}{2}r=\frac{\sqrt{10}}{2}$，
且d＜r
即$\sqrt{5}$＜|-1-m|＜$\sqrt{10}$
解得：-$\sqrt{10}$-1＜m＜-$\sqrt{5}$-1，或$\sqrt{5}$-1＜m＜$\sqrt{10}$-1，
故存在正实数m∈（$\sqrt{5}$-1，＜$\sqrt{10}$-1）使得△OAB为锐角三角形．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，点到直线的距离，三角形面积，难度中档．