Question

8．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的面积S=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{7}$a，B=120°．
（1）求b、c的值；
（2）证明：tanA=$\frac{S}{10}$．

Answer 1

分析 （1）由△ABC的面积S=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{7}$a，B=120°．可得2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}ac$sin120°，$b=\sqrt{7}$a，b²=a²+c²-
2accos120°，联立解出即可得出．
（2）利用正弦定理、同角三角函数基本关系式即可得出．

解答 解：（1）∵△ABC的面积S=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{7}$a，B=120°．
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}ac$sin120°，$b=\sqrt{7}$a，b²=a²+c²-2accos120°，
解得a=2，b=2$\sqrt{7}$，c=4．
（2）证明：由（1）可得：$\frac{2}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{7}}{sin12{0}^{°}}$，解得sinA=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
∵a＜b，∴A为锐角，
∴cosA=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$=$\frac{2\sqrt{3}}{10}$=$\frac{S}{10}$．
即tanA=$\frac{S}{10}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．