Question

18．如图，在某商业区周边有两条公路l₁和l₂，在点O处交汇；该商业区为圆心角$\frac{π}{3}$、半径3km的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB，与l₁，l₂分别交于A，B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在l₁，l₂上．
（1）设OA=akm，OB=bkm试用a，b表示新建公路AB的长度，求出a，b满足的关系式，并写出a，b的范围；
（2）设∠AOT=α，试用α表示新建公路AB的长度，并且确定A，B的位置，使得新建公路AB的长度最短．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理求出AB的长，建立直角坐标系，写出直线AB的方程，
利用AB与扇形弧相切d=r，得出a、b的关系式，再写出a、b的取值范围；
（2）根据OT⊥AB，求出AT、BT的值，写出AB的解析式，
利用三角函数与基本不等式求出它的最小值．

解答 解：（1）在△AOB中，OA=akm，OB=bkm，$∠AOB=\frac{π}{3}$；
由余弦定理得：
$A{B^2}=O{A^2}+O{B^2}-2OA•OBcos∠AOB={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$=a²+b²-ab；
所以$AB=\sqrt{{a^2}+{b^2}-ab}$；…（2分）
如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，
则$A（a，0），B（\frac{1}{2}b，\frac{{\sqrt{3}}}{2}b）$，
所以直线AB的方程为$y=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}b}}{{\frac{1}{2}b-a}}（x-a）$，
即$\sqrt{3}bx+（2a-b）y-\sqrt{3}ab=0$；  …（4分）
因为AB与扇形弧相切，所以$\frac{{\sqrt{3}ab}}{{\sqrt{3{b^2}+{{（2a-b）}^2}}}}=3$，
即${a^2}+{b^2}=\frac{1}{12}{a^2}{b^2}+ab$；   a，b∈（3，6）…（6分）
（2）因为OT是圆O的切线，所以OT⊥AB．
在Rt△OTA中，AT=3tanα；
在Rt△OTB中，$BT=3tan（\frac{π}{3}-α）$；
所以，AB=AT+TB=3tanα+3tan（$\frac{π}{3}$-α）（0＜α＜$\frac{π}{3}$）；   …（9分）
所以，AB=3（tanα+$\frac{\sqrt{3}-tanα}{1+\sqrt{3}tanα}$）=$3\sqrt{3}\;\frac{{{{tan}^2}α+1}}{{1+\sqrt{3}tanα}}$；   …（12分）
设$1+\sqrt{3}tanα=u$，u∈（1，4），
则$AB=3\sqrt{3}\;\frac{{{{（\frac{u-1}{{\sqrt{3}}}）}^2}+1}}{u}=\sqrt{3}\;（u+\frac{4}{u}-2）≥\sqrt{3}•2=2\sqrt{3}$，
当且仅当u=2，即$α=\frac{π}{6}$时取等号；
此时$OA=OB=2\sqrt{3}$km．
所以，当$OA=OB=2\sqrt{3}$km时，新建公路AB的长度最短．        …（16分）

点评 本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了三角恒等变换以及求值问题，是综合题．