Question

13．自原点O作圆（x-1）²+y²=1的不重合的两弦OA，OB，且|OA|•|OB|=2，若不论A，B两点的位置怎样，直线AB恒切与一个定圆，请求出定圆的方程．

Answer 1

分析 设AB边上的高为h，则△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•h，再利用S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|•sin∠AOB，即可得到结论．

解答 解：由题意，圆（x-1）²+y²=1是△AOB的外接圆，半径为1，根据正弦定理：|AB|=2Rsin∠AOB=2sin∠AOB，
设AB边上的高为h，则△AOB的面积$S=\frac{1}{2}|AB|•h=h•sin∠AOB$
∵$S=\frac{1}{2}|OA|•|OB|•sin∠AOB$=$\frac{1}{2}×2×sin∠AOB$
∴h=1为定值，
即O到AB的距离为定值1，
∴直线AB与以原点为圆心，1为半径的圆相切，圆的方程为x²+y²=1．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．