Question

【题目】已知函数 f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R．

（1）写出函数 f（x）的最小正周期（不必写出过程）；

（2）求函数 f（x）的最大值；

（3）当a＝1时，若函数 f（x）在区间（0，kπ）（k∈N*）上恰有2015个零点，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k＝1008．

【解析】

（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；

（2）令，t∈[1，]，则当时，，

当时，，易知，分类比较、的大小即可得解；

（3）转化条件得当且仅当sin2x＝0时，f（x）＝0，则x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解.

（1）函数 f（x）的最小正周期为π．

（2）∵f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1

＝asin2x﹣1＝a（sin2x+1），

令t，t∈[1，]，

当时，，

当时，，

∵即.

∴，

∵，，

∴当时，最大值为；当，最大值为.

（3）当a＝1时，f（x），

若f（x）＝0，则即，

∴当且仅当sin2x＝0时，f（x）＝0，

∴x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点分别为，π，

∴2015＝2×1007+1，

∴k＝1008．