Question

【题目】已知函数f（x）＝exsinx，g（x）为f（x）的导函数，

（1）求f（x）的单调区间；

（2）当x∈[，π]，证明：f（x）+g（x）（π﹣x）≥0.

Answer 1

【答案】（1）增区间为，单调递减区间为；（2）见解析

【解析】

(1) 求出函数的导函数,令可得函数的单调区间.
(2) 要证，即证sinx﹣（sinx+cosx）（x﹣π）≥0，设讨论其单调性得到函数的最小值即可证明.

（1），

当，即时，f′（x）＞0；

当，即时，f′（x）＜0，

故函数f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为；

（2）证明：由（1）知，，

当x∈[，π]时，要证，即证sinx﹣（sinx+cosx）（x﹣π）≥0，

设，则h′（x）＝﹣（cosx﹣sinx）（x﹣π）﹣sinx＜0，

故函数h（x）在上为减函数，

∴h（x）≥h（π）＝0，即sinx﹣（sinx+cosx）（x﹣π）≥0，即得证.