Question

【题目】已知函数在定义域内有两个不同的极值点.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）若有两个不同的极值点，且，若不等式恒成立，求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求导得,再转化为与的图像在上有两个不同的交点,再分析的函数单调性与最值,进而数形结合求解即可.

（Ⅱ）设是的两个根,代入相减可得,再对两边取对数,化简即证,再构造,分析函数的单调性证明最值,从而求得取值范围即可.

（Ⅰ）由题意, 有两个不同的根,

故方程在上有两个不同的根,转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点.

,故 时,. 时, ,

故在上单调递增,在上单调递减.

所以

又,故时, ,时,

由图象可得：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：设是的两个根,

故,,相减可得.

故

,又,故上式即为

令,则对恒成立.

设,则,

①若,当时, ,时,

故在上单调递减,故当时,不合题意；

②若,则,故在上单调递增.

故时, ,即恒成立.

综上：