Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为射线交曲线C于点A,倾斜角为α的直线l过线段OA的中点B且与曲线C交于P、Q两点.

(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的参数方程;

(2)当直线l倾斜角α为何值时, |BP|·|BQ|取最小值, 并求出|BP|·|BQ|最小值.

Answer 1

【答案】（1）曲线的直角坐标方程为；直线的参数方程为（为参数））（2）当时,取得最小值为

【解析】

（1）由求得曲线的直角坐标方程；先求出曲线与直线的交点的坐标,即可得到的中点,进而求解即可；

（2）由（1）,将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程中,由参数的几何意义可得,进而求解即可.

（1）由题,因为,即,

因为,

所以,即,

则曲线的直角坐标方程为,

因为射线交曲线于点,所以点的极坐标为,

则点的直角坐标为,所以的中点为,

所以倾斜角为且过点的直线的参数方程为（为参数）.

（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线的方程中,

整理可得,

设、对应的参数值分别是、,则有,

则,

因为,当,即时,取得最小值为