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已知函数f(x)=
3
sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)
(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
π
2

(Ⅰ)求f(
π
8
)
的值;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移
π
6
个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
分析:(Ⅰ)先用两角和公式对函数f(x)的表达式化简得f(x)=2sin(ωx+φ-
π
6
),利用偶函数的性质即f(x)=f(-x)求得ω,进而求出f(x)的表达式,把x=
π
8
代入即可.
(Ⅱ)根据三角函数图象的变化可得函数g(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性求得函数g(x)的单调区间.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
3
sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)
=2[
3
2
sin(ωx+φ)-
1
2
cos(ωx+φ)]
=2sin(ωx+φ-
π
6
)

∵f(x)为偶函数,
∴对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,
sin(-ωx+φ-
π
6
)=sin(ωx+φ-
π
6
)

-sinωxcos(φ-
π
6
)+cosωxsin(φ-
π
6
)=sinωxcos(φ-
π
6
)+cosωxsin(φ-
π
6
)

整理得sinωxcos(φ-
π
6
)=0

∵ω>0,且x∈R,所以cos(φ-
π
6
)=0

又∵0<φ<π,故φ-
π
6
=
π
2

f(x)=2sin(ωx+
π
2
)=2cosωx

由题意得
ω
=2•
π
2
,所以ω=2.
故f(x)=2cos2x.
f(
π
8
)=2cos
π
4
=
2

(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移
π
6
个单位后,得到f(x-
π
6
)
的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到f(
x
4
-
π
6
)
的图象.
g(x)=f(
x
4
-
π
6
)=2cos[2(
x
4
-
π
6
)]=2cos(
x
2
-
π
3
)

2kπ≤
x
2
-
π
3
≤2kπ+π
(k∈Z),
4kπ+
3
≤x≤4kπ+
3
(k∈Z)时,g(x)单调递减,
因此g(x)的单调递减区间为[4kπ+
3
,4kπ+
3
]
(k∈Z).
点评:本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数图象的应用.属基础题.
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(3-a)x-3 (x≤7)
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π
2
)cosωx(0<ω≤2)
的图象过点(
π
16
,2+
2
)

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2
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1x
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π
3
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