Question

已知函数f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求f(

π

8

)的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用两角和公式对函数f（x）的表达式化简得f（x）=2sin（ωx+φ-

π

6

），利用偶函数的性质即f（x）=f（-x）求得ω，进而求出f（x）的表达式，把x=

π

8

代入即可．
（Ⅱ）根据三角函数图象的变化可得函数g（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数g（x）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2[

3

2

sin(ωx+φ)-

1

2

cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ-

π

6

)．
∵f（x）为偶函数，
∴对x∈R，f（-x）=f（x）恒成立，
∴sin(-ωx+φ-

π

6

)=sin(ωx+φ-

π

6

)．
即-sinωxcos(φ-

π

6

)+cosωxsin(φ-

π

6

)=sinωxcos(φ-

π

6

)+cosωxsin(φ-

π

6

)，
整理得sinωxcos(φ-

π

6

)=0．
∵ω＞0，且x∈R，所以cos(φ-

π

6

)=0．
又∵0＜φ＜π，故φ-

π

6

=

π

2

．
∴f(x)=2sin(ωx+

π

2

)=2cosωx．
由题意得

2π

ω

=2•

π

2

，所以ω=2．
故f（x）=2cos2x．
∴f(

π

8

)=2cos

π

4

=

2

．
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到f(x-

π

6

)的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f(

x

4

-

π

6

)的图象．
∴g(x)=f(

x

4

-

π

6

)=2cos[2(

x

4

-

π

6

)]=2cos(

x

2

-

π

3

)．
当2kπ≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z），
即4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

（k∈Z）时，g（x）单调递减，
因此g（x）的单调递减区间为[4kπ+

2π

3

，4kπ+

8π

3

]（k∈Z）．

点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数图象的应用．属基础题．