Question

【题目】命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），命题q：实数x满足
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=1，p∧q为真，∴p，q都为真．

p：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3．

命题q：实数x满足 ，化为 ，解得2＜x≤3．

∴ ，解得2＜x＜3．

∴实数x的取值范围是2＜x＜3

（2）解：命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），解得a＜x＜3a．

￢p：x≤a或x≥3a．

q：2＜x≤3，则￢q：x≤2或x＞3．

∵￢p是￢q的充分不必要条件，

∴ ，解得1＜a≤2．

∴实数a的取值范围是（1，2]

【解析】（1）由a=1，p∧q为真，可得p，q都为真．分别化简命题p，q即可得出．（2）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），利用一元二次不等式的解法可得解得a＜x＜3a．￢p，q：2＜x≤3，则￢q：x≤2或x＞3．利用￢p是￢q的充分不必要条件，即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合命题的真假的相关知识，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．